M. SERFATI
The lattice theory of r-ordered partitions

 Pour  tout entier  r . 2   et tout ensemble   W   ,   on définit
l'ensemble     P r ( W )  de toutes les r-  partitions  ordonnées
de   W    .On  définit  d'abord        une relation   d'ordre   .
telle que
 (  P r ( W )   , .      )  soit  un  treillis  distributif  com­
plet   avec   0   et   1    .   On distingue    dans  entre  deux
catégories   de  r-partitions  ordonnées   :   d'un   côté    les
quasi-ensembles   d'ordre    r , et  de l'autre  , les r-  parti­
tions   véritables        .  P 2( W )  est isomorphe à  P ( W ) ;
d'autre  part  , pour tout r,  P r ( W )  contient  P ( W ) comme
son centre, à un isomophisme près . On   définit   sur   P r (  W
)   une   structure   d'   anneau  commutatif  unitaire  de  car­
actéristique r   . A toute mesure positive  m  sur P  ( W )  , on
associe   également  une distance  d  sur   P r ( W )    de sorte
que  ( P r ( W )   , d ) soit  un  espace  métrique  complet    ,
dont  le centre est un sous - espace fermé   .Etant donnée une  r
- partition ordonnée P  quelconque , on peut  explicitement  cal­
culer  la  distance   de P au centre  de  P r ( W )    et décrire
les quasi -ensembles les  plus  proches  de  P.  Une  application
intéressante   est le cas  où  W   est fini et m ( A ) =   Card (
A) .
 Given  any  integer r . 2  and any set  W   ,    we  define  the
set    P  r  ( W )  of all the  r-ordered partitions of  W  .  We
define      an order relation  .      such that   (  P r  (  W  )
,  .       )   is   a  ( 0 ,1 )  - complete  distributive lattice
.  We    then   state     a  distinction  between   two kinds  of
r-ordered partitions :  the  quasi - sets  of order r on one hand
, and the   actual   partitions  on the other hand   .P  2(  W  )
is   isomorphic  to   P ( W ) and  ; and also ,for every  r,  P r
( W )  contains   P ( W ) - up to isomorphism - as its  center  .
We  also   define   on  P r ( W ) a structure of commutative ring
with unit  , of characteristic r  .  Associated  to any  positive
measure  m  on P  ( W )  , we  introduce   a distance  d  on  P r
( W )    in such a way  that   P r ( W )   , d )  is  a  complete
metric  space  , the  center of which  is  proved to be  a closed
metric subspace  .Given  any  r -ordered partition  P ,  we   can
effectively  compute the shortest  distance from P   to the  cen­
ter of
  P r ( W )    as well as  explicitely  describe those  of    the
quasi  - sets  in
 P  r  ( W )  the  nearest  from P   .An interesting  case is   W
is finite  and
  m ( A ) =  Card ( A)