Noncommutative symmetric functions
I.M. Gelfand, D. Krob, A. Lascoux, B..Leclerc, V.S. Retakh, J.Y..Thibon

     Cet article présente les fondements et quelques applications
d'une théorie non commutative des  fonctions  symétriques,  basée
sur la notion de quasi-déterminant. Nous commençons par présenter
une  théorie  formelle,  correspondant  au  cas   des   fonctions
symétriques  d'une  infinité  de  variables indépendantes, ce qui
permet de munir l'algèbre obtenue d'une structure de Hopf,  comme
dans  le  cas  commutatif. Cette structure conduit à une nouvelle
méthode de calcul d'idempotents dans l'algèbre des  descentes  de
Solomon  et  permet  de  réintégrer de manière unifiée un certain
nombre de constructions classiques.  Nous  étudions  ensuite  les
analogues non commutatifs des polynômes symétriques. On aboutit à
des constructions différentes selon le type d'applications envis­
agées.  Par exemple, lorsqu'un polynôme à coefficients non commu­
tatifs en une variable centrale est décomposé en produit de  fac­
teurs  linéaires, les racines  de ces facteurs  ne coïncident pas
avec les racines   du  polynôme  développé.  Ainsi,  selon  qu'on
s'intéresse  à  la  formation  d'un  polynôme  ayant  des racines
données ou au développement d'un produit de  facteurs  linéaires,
on,  doit  considérer  deux spécialisations différentes des fonc­
tions symétriques formelles. Un troisième type apparaît lorsqu'on
cherche  à étendre les applications liées à la notion de polynôme
caractéristique d'une matrice, telles que le Théorème  Maître  de
McMahon.  Cette  construction s'applique par exemple à la matrice
non commutative formée par les générateurs de l'algèbre  envelop­
pante  U  ( gln ) ou à celle du groupe quantique  GL q  (n ). En­
fin, nous appliquons  les fonctions  symétriques  à  l'étude  des
polynômes  orthogonaux  et les approximants de Padé non commutat­
ifs, et en tirons une nouvelle notion de déterminant  non  commu­
tatif,   le   pseudo-déterminant,  qui  permet  de  retrouver  le
déterminant classique de Capelli  et  le  déterminant  quantique.
Nous établissons aussi un théorème de Cayley-Hamilton pour la ma­
trice générique au moyen de ces  pseudo-déterminants.        This
paper presents the foundations and some applications of a noncom­
mutative theory of symmetric functions, based on  the  notion  of
quasi-déterminant.  We  begin with a formal theory, corresponding
to the case of symmetric functions in an infinite number of inde­
pendent  variables. This allows us to endow the resulting algebra
with a Hopf structure, which leads to a new method for  computing
idempotents in Solomon's descent algebras. It also gives  unified
reinterpretation of a number of classical constructions. Next, we
study  the  noncommutative  analogs of symmetric polynomials. One
arrives at different constructions, according to  the  particular
kind  of  application  under  consideration.  For example, when a
polynomial with noncommutative coefficients in one central  vari­
able  is  decomposed as a product of linear factors, the roots of
these factors differ from those of the expanded polynomial. Thus,
according  to whether one is interested  in the construction of a
polynomial with given roots or in the expansion of a  product  of
linear  factors, one has to consider two distinct specializations
of the formal symmetric functions. A third type appears when  one
looks for a noncommutative genertalization of applications relat­
ed to the notion of characteristic polynomial of a  matrix,  such
as  McMahon's  Master  Theorem. This construction can be applied,
for instance, to  the  noncommutative   matrices  formed  by  the
genarators  of the universal enveloping alghebra U(gln) or of the
quantum group GLq(n). Finally, we apply  symmetric  functions  to
the  study  of  rational power series with coefficients in a skew
field. We discuss in particular  noncommutative  continued  frac­
tions,  orthogonal  polynomials and Padé approximants, and we ob­
tain a new notion  of  noncommutative  determinant,  the  pseudo-
determinant,  from which we can recover the classical Capelli de­
terminant and the quantum determinant.  Also,  a  Cayley-Hamilton
theorem  for  the  generic  matrix  is obtained by means of these
pseudo-determinants.